Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin^{2} (x) - 9}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{10 \cos (x) + 5}{3 \sin (x) + 9}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sin^{2} (x) - 3^{2}}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{10 \cos (x) + 5}{3 \sin (x) + 9}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin (x)$ und $b = 3$ .

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{10 \cos (x) + 5}{3 \sin (x) + 9}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $5$ aus $10 \cos (x) + 5$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $10 \cos (x)$ heraus.

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x)) + 5}{3 \sin (x) + 9}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x)) + 5 (1)}{3 \sin (x) + 9}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (2 \cos (x)) + 5 (1)$ heraus.

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x) + 1)}{3 \sin (x) + 9}$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sin (x) + 9$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sin (x)$ heraus.

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x) + 1)}{3 (\sin (x)) + 9}$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x) + 1)}{3 \sin (x) + 3 \cdot 3}$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \sin (x) + 3 \cdot 3$ heraus.

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x) + 1)}{3 (\sin (x) + 3)}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x) + 3$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $\sin (x) + 3$ aus $3 (\sin (x) + 3)$ heraus.

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x) + 1)}{(\sin (x) + 3) \cdot 3}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(\sin (x) + 3) (\sin (x) - 3)}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x) + 1)}{(\sin (x) + 3) \cdot 3}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) - 3}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{5 (2 \cos (x) + 1)}{3}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \cos (x) + 1$ .

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $2 \cos (x) + 1$ aus $5 (2 \cos (x) + 1)$ heraus.

$\frac{\sin (x) - 3}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{(2 \cos (x) + 1) \cdot 5}{3}$

Schritt 2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) - 3}{2 \cos (x) + 1} \cdot \frac{(2 \cos (x) + 1) \cdot 5}{3}$

Schritt 2.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$(\sin (x) - 3) \cdot \frac{5}{3}$

Schritt 2.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \frac{5}{3} - 3 (\frac{5}{3})$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{5}{3}$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 5}{3} - 3 (\frac{5}{3})$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{\sin (x) \cdot 5}{3} + 3 (- 1) \frac{5}{3}$

Schritt 2.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) \cdot 5}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{5}{3}$

Schritt 2.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) \cdot 5}{3} - 1 \cdot 5$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 5}{3} - 5$

Schritt 2.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{3} - 5$