Trigonometrie Beispiele

${(3 (\cos (48) + i \sin (48)))}^{5}$

Schritt 1

Wende das Distributivgesetz an.

${(3 \cos (48) + 3 (i \sin (48)))}^{5}$

Schritt 2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(3 \cos (48))}^{5} + 5 {(3 \cos (48))}^{4} (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $3 \cos (48)$ an.

$3^{5} \cos^{5} (48) + 5 {(3 \cos (48))}^{4} (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.2

Potenziere $3$ mit $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 {(3 \cos (48))}^{4} (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.3

Wende die Produktregel auf $3 \cos (48)$ an.

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{4} \cos^{4} (48)) (3 i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $3^{4}$ mit $3$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.4.1

Bewege $3$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3 \cdot 3^{4} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3^{4}$ .

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Schritt 3.1.4.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{1} \cdot 3^{4} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{1 + 4} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.4.3

Addiere $1$ und $4$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 (3^{5} \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.5

Potenziere $3$ mit $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 5 (243 \cos^{4} (48)) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $243$ mit $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) (i \sin (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{3} {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.7

Wende die Produktregel auf $3 \cos (48)$ an.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 10 (3^{3} \cos^{3} (48)) {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.8

Potenziere $3$ mit $3$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 10 (27 \cos^{3} (48)) {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.9

Mutltipliziere $27$ mit $10$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) {(3 i \sin (48))}^{2} + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.10

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.10.1

Wende die Produktregel auf $3 i \sin (48)$ an.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) ({(3 i)}^{2} \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.10.2

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (3^{2} i^{2} \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (9 i^{2} \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.12

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (9 \cdot - 1 \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.13

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) + 270 \cos^{3} (48) (- 9 \sin^{2} (48)) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.14

Mutltipliziere $- 9$ mit $270$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 10 {(3 \cos (48))}^{2} {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.15

Wende die Produktregel auf $3 \cos (48)$ an.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 10 (3^{2} \cos^{2} (48)) {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.16

Potenziere $3$ mit $2$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 10 (9 \cos^{2} (48)) {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.17

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) {(3 i \sin (48))}^{3} + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.18

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.18.1

Wende die Produktregel auf $3 i \sin (48)$ an.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) ({(3 i)}^{3} \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.18.2

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (3^{3} i^{3} \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.19

Potenziere $3$ mit $3$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 i^{3} \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.20

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.21

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.22

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (27 (- i) \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.23

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 90 \cos^{2} (48) (- 27 i \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.24

Mutltipliziere $- 27$ mit $90$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) (i \sin^{3} (48)) + 5 (3 \cos (48)) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.25

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) {(3 i \sin (48))}^{4} + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.26

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.26.1

Wende die Produktregel auf $3 i \sin (48)$ an.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) ({(3 i)}^{4} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.26.2

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (3^{4} i^{4} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.27

Potenziere $3$ mit $4$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 i^{4} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.28

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 3.1.28.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 {(i^{2})}^{2} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.28.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 {(- 1)}^{2} \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.28.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 \cdot 1 \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.29

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 15 \cos (48) (81 \sin^{4} (48)) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.30

Mutltipliziere $81$ mit $15$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + {(3 i \sin (48))}^{5}$

Schritt 3.1.31

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.31.1

Wende die Produktregel auf $3 i \sin (48)$ an.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + {(3 i)}^{5} \sin^{5} (48)$

Schritt 3.1.31.2

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 3^{5} i^{5} \sin^{5} (48)$

Schritt 3.1.32

Potenziere $3$ mit $5$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i^{5} \sin^{5} (48)$

Schritt 3.1.33

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 (i^{4} i) \sin^{5} (48)$

Schritt 3.1.34

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 3.1.34.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 ({(i^{2})}^{2} i) \sin^{5} (48)$

Schritt 3.1.34.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 ({(- 1)}^{2} i) \sin^{5} (48)$

Schritt 3.1.34.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 (1 i) \sin^{5} (48)$

Schritt 3.1.35

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Stelle die Faktoren in $243 \cos^{5} (48) + 1215 \cos^{4} (48) i \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 \cos^{2} (48) i \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$ um.

$243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$

Schritt 3.2.2

Stelle $243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48)$ und $- 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48)$ um.

$- 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48) + 1215 \cos (48) \sin^{4} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$

Schritt 3.2.3

Stelle $- 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48)$ und $1215 \cos (48) \sin^{4} (48)$ um.

$1215 \cos (48) \sin^{4} (48) - 2430 \cos^{3} (48) \sin^{2} (48) + 243 \cos^{5} (48) + 1215 i \cos^{4} (48) \sin (48) - 2430 i \cos^{2} (48) \sin^{3} (48) + 243 i \sin^{5} (48)$