Trigonometrie Beispiele

$\frac{x^{2} + 13 x + 42}{x^{2} + x - 42} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{2} - x - 42}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 13 x + 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $42$ und deren Summe $13$ ist.

$6, 7$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{x^{2} + x - 42} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{2} - x - 42}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + x - 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 42$ und deren Summe $1$ ist.

$- 6, 7$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x^{2} - x - 42}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} - 7^{2}}{x^{2} - x - 42}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x^{2} - x - 42}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} - x - 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 42$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 7, 6$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{(x - 7) (x + 6)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 6$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x + 6$ aus $(x - 7) (x + 6)$ heraus.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{(x + 6) (x - 7)}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{(x + 6) (x - 7)}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 7}{(x - 6) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x - 7}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x + 7$ aus $(x - 6) (x + 7)$ heraus.

$\frac{x + 7}{(x + 7) (x - 6)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x - 7}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 7}{(x + 7) (x - 6)} \cdot \frac{(x + 7) (x - 7)}{x - 7}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 7}{x - 6} \cdot \frac{x - 7}{x - 7}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{x + 7}{x - 6}$ mit $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{(x - 6) (x - 7)}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 7$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 7) (x - 7)}{(x - 6) (x - 7)}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 7}{x - 6}$