Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{π}{12}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.1.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.1.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{1}{2} \cdot (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.1.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.1.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.1.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.1.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.1.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.3.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 1.3.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 1.3.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 1.3.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 1.3.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 1.3.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.3.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.3.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.3.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.3.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.3.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.3.7.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.3.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.3.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Schritt 1.3.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 1.4

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})}{8}$

Schritt 1.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})}{8}$

Schritt 1.7

Multipliziere $\sqrt{3} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 1.7.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} - \sqrt{3 \cdot 2}}{8}$

Schritt 1.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} - \sqrt{6}}{8}$

Schritt 1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{18} - \sqrt{6}}{8}$

Schritt 1.8.2

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.8.2.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{9 (2)} - \sqrt{6}}{8}$

Schritt 1.8.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - \sqrt{6}}{8}$

Schritt 1.8.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\sqrt{6}$ von $\sqrt{6}$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 2.4

Addiere $\sqrt{2}$ und $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Schritt 2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$0.70710678 \dots$