Trigonometrie Beispiele

$\frac{12 \sin^{2} (x) + 15 \sin (x) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 \sin^{2} (x) + 15 \sin (x) + 3$ und $3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $12 \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x)) + 15 \sin (x) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $15 \sin (x)$ heraus.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x)) + 3 (5 \sin (x)) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 \sin^{2} (x)) + 3 (5 \sin (x))$ heraus.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3 \cdot 1}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Schritt 1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3 (1)$ heraus.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Schritt 1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x)) + 9 \sin (x) + 6}$

Schritt 1.6.2

Faktorisiere $3$ aus $9 \sin (x)$ heraus.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x)) + 3 (3 \sin (x)) + 6}$

Schritt 1.6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (\sin^{2} (x)) + 3 (3 \sin (x))$ heraus.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 6}$

Schritt 1.6.4

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 3 \cdot 2}$

Schritt 1.6.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 3 \cdot 2$ heraus.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2)}$

Schritt 1.6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2)}$

Schritt 1.6.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (x)$ .

$\frac{4 u^{2} + 5 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 u$ heraus.

$\frac{4 u^{2} + 5 (u) + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $5$ um als $1$ plus $4$

$\frac{4 u^{2} + (1 + 4) u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 u^{2} + 1 u + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\frac{4 u^{2} + u + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(4 u^{2} + u) + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{u (4 u + 1) + 1 (4 u + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u + 1$ .

$\frac{(4 u + 1) (u + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (x)$ .

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 3 u + 2}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $u^{2} + 3 u + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $3$ ist.

$1, 2$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(u + 1) (u + 2)}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 2)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x) + 1$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 2)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sin (x) + 1}{\sin (x) + 2}$