Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{2 a - 9} - \sqrt{a - 5} = 1$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{a - 5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 a - 9} = 1 + \sqrt{a - 5}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 a - 9}}^{2} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 a - 9}$ als ${(2 a - 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 a - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(2 a - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 a - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 a - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 a - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 a - 9)}^{1} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$2 a - 9 = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{a - 5}) (1 + \sqrt{a - 5})$ um.

$2 a - 9 = (1 + \sqrt{a - 5}) (1 + \sqrt{a - 5})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{a - 5}) (1 + \sqrt{a - 5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 a - 9 = 1 (1 + \sqrt{a - 5}) + \sqrt{a - 5} (1 + \sqrt{a - 5})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 a - 9 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} (1 + \sqrt{a - 5})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 a - 9 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} \cdot 1 + \sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 a - 9 = 1 + 1 \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} \cdot 1 + \sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{a - 5}$ mit $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} \cdot 1 + \sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{a - 5}$ mit $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $\sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Potenziere $\sqrt{a - 5}$ mit $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {\sqrt{a - 5}}^{1} \sqrt{a - 5}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{a - 5}$ mit $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {\sqrt{a - 5}}^{1} {\sqrt{a - 5}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {\sqrt{a - 5}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {\sqrt{a - 5}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{a - 5}}^{2}$ als $a - 5$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a - 5}$ als ${(a - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {({(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {(a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {(a - 5)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {(a - 5)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {(a - 5)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + a - 5$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$2 a - 9 = - 4 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + a$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $\sqrt{a - 5}$ und $\sqrt{a - 5}$ .

$2 a - 9 = - 4 + 2 \sqrt{a - 5} + a$

Schritt 4

Löse nach $2 \sqrt{a - 5}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 + 2 \sqrt{a - 5} + a = 2 a - 9$ um.

$- 4 + 2 \sqrt{a - 5} + a = 2 a - 9$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{a - 5}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{a - 5} + a = 2 a - 9 + 4$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{a - 5} = 2 a - 9 + 4 - a$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $a$ von $2 a$ .

$2 \sqrt{a - 5} = a - 9 + 4$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 9$ und $4$ .

$2 \sqrt{a - 5} = a - 5$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{a - 5})}^{2} = {(a - 5)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a - 5}$ als ${(a - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(a - 5)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(2 {(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(a - 5)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(a - 5)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(a - 5)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(a - 5)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(a - 5)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(a - 5)}^{1} = {(a - 5)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$4 (a - 5) = {(a - 5)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 a + 4 \cdot - 5 = {(a - 5)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$4 a - 20 = {(a - 5)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(a - 5)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(a - 5)}^{2}$ als $(a - 5) (a - 5)$ um.

$4 a - 20 = (a - 5) (a - 5)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(a - 5) (a - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 a - 20 = a (a - 5) - 5 (a - 5)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 a - 20 = a \cdot a + a \cdot - 5 - 5 (a - 5)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 a - 20 = a \cdot a + a \cdot - 5 - 5 a - 5 \cdot - 5$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$4 a - 20 = a^{2} + a \cdot - 5 - 5 a - 5 \cdot - 5$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $a$ .

$4 a - 20 = a^{2} - 5 \cdot a - 5 a - 5 \cdot - 5$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$4 a - 20 = a^{2} - 5 a - 5 a + 25$

Schritt 6.3.1.3.2

Subtrahiere $5 a$ von $- 5 a$ .

$4 a - 20 = a^{2} - 10 a + 25$

Schritt 7

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 7.1

Da $a$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$a^{2} - 10 a + 25 = 4 a - 20$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $a$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $4 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} - 10 a + 25 - 4 a = - 20$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $4 a$ von $- 10 a$ .

$a^{2} - 14 a + 25 = - 20$

Schritt 7.3

Addiere $20$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} - 14 a + 25 + 20 = 0$

Schritt 7.4

Addiere $25$ und $20$ .

$a^{2} - 14 a + 45 = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $a^{2} - 14 a + 45$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $45$ und deren Summe $- 14$ ist.

$- 9, - 5$

Schritt 7.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(a - 9) (a - 5) = 0$

Schritt 7.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$a - 9 = 0$

$a - 5 = 0$

Schritt 7.7

Setze $a - 9$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 7.7.1

Setze $a - 9$ gleich $0$ .

$a - 9 = 0$

Schritt 7.7.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 9$

Schritt 7.8

Setze $a - 5$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 7.8.1

Setze $a - 5$ gleich $0$ .

$a - 5 = 0$

Schritt 7.8.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 5$

Schritt 7.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(a - 9) (a - 5) = 0$ wahr machen.

$a = 9, 5$