Trigonometrie Beispiele

$\tan (3 x) = - 1$

Schritt 1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$3 x = \arctan (- 1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$3 x = - \frac{π}{4}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Schritt 4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$3 x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{3 π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{3 π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\tan (3 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 7

Addiere $\frac{π}{3}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu $- \frac{π}{12}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{12} + \frac{π}{3}$

Schritt 7.2

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{12}$

Schritt 7.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{12}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{12}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{12}$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{12}$

Schritt 7.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$\frac{3 (π)}{12}$

Schritt 7.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Schritt 7.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{4}$

Schritt 7.7

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\tan (3 x)$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$