Trigonometrie Beispiele

$\sin (5 x) - 16 = - 17$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (5 x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (5 x) = - 17 + 16$

Schritt 1.2

Addiere $- 17$ und $16$ .

$\sin (5 x) = - 1$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$5 x = \arcsin (- 1)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$5 x = - \frac{π}{2}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - \frac{π}{2}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - \frac{π}{2}$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{2}}{5}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{2}}{5}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{5}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{5 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$x = - \frac{π}{10}$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$5 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$5 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$5 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{3 π}{2}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = \frac{3 π}{2}$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 6.3.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (5 x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $5$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Schritt 8

Addiere $\frac{2 π}{5}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.1

Addiere $\frac{2 π}{5}$ zu $- \frac{π}{10}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{10} + \frac{2 π}{5}$

Schritt 8.2

Um $\frac{2 π}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{10}$

Schritt 8.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{π}{10}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{10} - \frac{π}{10}$

Schritt 8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{10}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{10}$

Schritt 8.5.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{10}$

Schritt 8.6

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{10}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (5 x)$ ist $\frac{2 π}{5}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{5}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{10} + \frac{2 π n}{5}, \frac{3 π}{10} + \frac{2 π n}{5}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{10} + \frac{2 π n}{5}$ , für jede ganze Zahl $n$