Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) - 4 = - 5 \sin (x)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $\sin (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $5 \sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) - 4 + 5 \sin (x) = 0$

Schritt 1.2

Addiere $\sin (x)$ und $5 \sin (x)$ .

$6 \sin (x) - 4 = 0$

Schritt 2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 \sin (x) = 4$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $6 \sin (x) = 4$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 \sin (x) = 4$ durch $6$ .

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{4}{6}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{4}{6}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{4}{6}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sin (x) = \frac{2 (2)}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \frac{2}{3}$

Schritt 4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{2}{3})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Berechne $\arcsin (\frac{2}{3})$ .

$x = 0.72972765$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.72972765$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.72972765$

Schritt 7.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.72972765$

Schritt 7.3

Subtrahiere $0.72972765$ von $3.14159265$ .

$x = 2.41186499$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.72972765 + 2 π n, 2.41186499 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$