Trigonometrie Beispiele

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{6}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{6} - \frac{π}{4}$

Schritt 3.2

Um $\frac{π}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 3.3

Um $- \frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π \cdot 3}{12}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π \cdot 3}{12}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 π - 3 π}{12}$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere $3 π$ von $2 π$ .

$x = \frac{- π}{12}$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{π}{12}$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{6}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 5.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x + \frac{π}{4} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 5.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.2

Um $\frac{5 π}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.3

Um $- \frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{5 π \cdot 2}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.2.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x = \frac{5 π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

Schritt 5.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 π \cdot 2 - π \cdot 3}{12}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{10 π - π \cdot 3}{12}$

Schritt 5.2.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = \frac{10 π - 3 π}{12}$

Schritt 5.2.6.3

Subtrahiere $3 π$ von $10 π$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (x + \frac{π}{4})$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{12}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{12} + 2 π$

Schritt 7.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 12 - π}{12}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$\frac{24 π - π}{12}$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere $π$ von $24 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Schritt 7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{23 π}{12}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sin (x + \frac{π}{4})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{23 π}{12} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$