Trigonometrie Beispiele

$\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ durch $\csc (\frac{x}{2})$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ durch $\csc (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\csc (\frac{x}{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}}$

Schritt 1.3.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}$ zu dividieren.

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

Schritt 1.3.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.3.1

Potenziere $\sin (\frac{x}{2})$ mit $1$ .

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $\sin (\frac{x}{2})$ mit $1$ .

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin^{1} (\frac{x}{2})$

Schritt 1.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 = {\sin (\frac{x}{2})}^{1 + 1}$

Schritt 1.3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$ um.

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm 1$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1, - 1$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

Schritt 7

Löse in $\sin (\frac{x}{2}) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arcsin (1)$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 7.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = π$

Schritt 7.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{2}$

Schritt 7.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Schritt 7.5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Schritt 7.5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

Schritt 7.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.2.2.1

Vereinfache $2 (π - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 7.5.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 7.5.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.5.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 7.5.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 7.5.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.2.2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 7.5.2.2.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = π \cdot 2 - π$

Schritt 7.5.2.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = 2 π - π$

Schritt 7.5.2.2.1.4

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 7.6

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 7.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.6.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 7.6.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 7.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 7.7

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Löse in $\sin (\frac{x}{2}) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- 1)$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

Schritt 8.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = - π$

Schritt 8.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 8.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 8.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 8.5.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = 3 π$

Schritt 8.6

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 8.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.6.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 8.6.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 8.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 8.7

Addiere $4 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.7.1

Addiere $4 π$ zu $- π$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- π + 4 π$

Schritt 8.7.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$3 π$

Schritt 8.7.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 3 π$

Schritt 8.8

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$