Trigonometrie Beispiele

$\csc (x) - 1 = \frac{3}{2} \cdot \csc (x)$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{3}{2} \csc (x)$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$\csc (x) - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} \csc (x)$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\csc (x) - 1 = \frac{3}{2} \csc (x)$

Schritt 1.3

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\csc (x)$ .

$\csc (x) - 1 = \frac{3 \csc (x)}{2}$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $\csc (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\frac{3 \csc (x)}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\csc (x) - 1 - \frac{3 \csc (x)}{2} = 0$

Schritt 2.2

Um $\csc (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\csc (x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Schritt 2.3

Kombiniere $\csc (x)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\csc (x) \cdot 2}{2} - \frac{3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\csc (x) \cdot 2 - 3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $3 \csc (x)$ von $\csc (x) \cdot 2$ .

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Schritt 2.5.1

Stelle $\csc (x)$ und $2$ um.

$\frac{2 \cdot \csc (x) - 3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3 \csc (x)$ von $2 \cdot \csc (x)$ .

$\frac{- \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Schritt 2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\csc (x)}{2} - 1 = 0$

Schritt 3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{\csc (x)}{2} = 1$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{\csc (x)}{2}) = - 2 \cdot 1$

Schritt 5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{\csc (x)}{2})$ .

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Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\csc (x)}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- \csc (x)}{2} = - 2 \cdot 1$

Schritt 5.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- \csc (x)}{2} = - 2 \cdot 1$

Schritt 5.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- \csc (x)}{2} = - 2 \cdot 1$

Schritt 5.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \csc (x) = - 2 \cdot 1$

Schritt 5.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 5.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \csc (x) = - 2 \cdot 1$

Schritt 5.1.1.2.2

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\csc (x) = - 2 \cdot 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\csc (x) = - 2$

Schritt 6

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (- 2)$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $arccsc (- 2)$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Schritt 8

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 9.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 11.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Schritt 11.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 11.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 11.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 11.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Schritt 11.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Schritt 11.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 12

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$