Trigonometrie Beispiele

$\sec (x) = \cos (x)$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $\sec (x) = \cos (x)$ durch $\sec (x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\sec (x) = \cos (x)$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x)}{\sec (x)} = \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (x)$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec (x)}{\sec (x)} = \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 1.3.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$1 = \cos (x) \cos (x)$

Schritt 1.3.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.3.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 = \cos^{1} (x) \cos (x)$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Schritt 1.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 = {\cos (x)}^{1 + 1}$

Schritt 1.3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 = \cos^{2} (x)$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $\cos^{2} (x) = 1$ um.

$\cos^{2} (x) = 1$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (x) = \pm 1$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = 1$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - 1$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = 1, - 1$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = 1$

$\cos (x) = - 1$

Schritt 7

Löse in $\cos (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 7.4

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Löse in $\cos (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 8.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 8.4

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$