Trigonometrie Beispiele

$\cos (x - \frac{π}{3}) - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x - \frac{π}{3}) = 1$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x - \frac{π}{3} = \arccos (1)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x - \frac{π}{3} = 0$

Schritt 4

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x - \frac{π}{3} = 2 π - 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x - \frac{π}{3} = 2 π$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 π + \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π + π}{3}$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $6 π$ und $π$ .

$x = \frac{7 π}{3}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (x - \frac{π}{3})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (x - \frac{π}{3})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$