Trigonometrie Beispiele

$\cos (2 x) = 3 \sin (x)$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x)$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x) - 1$

Schritt 3

Subtrahiere $3 \sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) = - 1$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u = - 1$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = - 2$ , $b = - 3$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 4.5.1.3

Addiere $9$ und $8$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{- 4}$

Schritt 4.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 4.7

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 4.8

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 4.9

Löse in $\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.9.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 4.10

Löse in $\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

Schritt 4.10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.10.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 0.28460296$

Schritt 4.10.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$

Schritt 4.10.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 4.10.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 4.10.4.2

Der resultierende Winkel von $2.85698969$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ .

$x = 2.85698969$

Schritt 4.10.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.10.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.11

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$