Trigonometrie Beispiele

$(\csc (x) - 2) (\cot (x) + 1) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Multipliziere $(\csc (x) - 2) (\cot (x) + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc (x) (\cot (x) + 1) - 2 (\cot (x) + 1) = 0$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) \cdot 1 - 2 (\cot (x) + 1) = 0$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) \cdot 1 - 2 \cot (x) - 2 \cdot 1 = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) - 2 \cot (x) - 2 \cdot 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) - 2 \cot (x) - 2 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\csc (x) \cot (x) + \csc (x) - 2 \cot (x) - 2$ .

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Schritt 2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\csc (x) \cot (x) + \csc (x) - 2 \cot (x) - 2 = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\csc (x) (\cot (x) + 1) - 2 (\cot (x) + 1) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $\cot (x) + 1$ .

$(\cot (x) + 1) (\csc (x) - 2) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

$\csc (x) - 2 = 0$

Schritt 4

Setze $\cot (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\cot (x) + 1$ gleich $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cot (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cot (x) = - 1$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- 1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von $arccot (- 1)$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.2.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 4.2.5.1

Addiere $2 π$ zu $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Schritt 4.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{4}$ ist positiv und gleich $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.7

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $\csc (x) - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\csc (x) - 2$ gleich $0$ .

$\csc (x) - 2 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\csc (x) - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\csc (x) = 2$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (2)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von $arccsc (2)$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.4

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 5.2.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 5.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 5.2.5.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.7

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\cot (x) + 1) (\csc (x) - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Führe $\frac{3 π}{4} + π n$ und $\frac{7 π}{4} + π n$ zu $\frac{3 π}{4} + π n$ zusammen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$