Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) - 1} = \frac{1 + \sec (x)}{1 - \sec (x)}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\cos (x) - 1$ .

$\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) - 1} (\cos (x) - 1) = \frac{1 + \sec (x)}{1 - \sec (x)} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x) - 1$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) - 1} (\cos (x) - 1) = \frac{1 + \sec (x)}{1 - \sec (x)} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + 1 = \frac{1 + \sec (x)}{1 - \sec (x)} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{1 + \sec (x)}{1 - \sec (x)} (\cos (x) - 1)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (x) + 1 = \frac{1 + \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \sec (x)} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (x) + 1 = \frac{1 + \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.2.1.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x)$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\cos (x)}}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.2.1.3.2

Kombinieren.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)})}{\cos (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)})} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)})} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.2.1.5

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 2.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.2.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)})} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.2.1.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) \cdot 1 + 1}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)})} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.2.1.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\cos (x)}$ in den Zähler.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) \cdot 1 + 1}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) \cdot 1 + 1}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) \cdot 1 + 1}{\cos (x) \cdot 1 - 1} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.2.1.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.6.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) \cdot 1 - 1} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.2.1.6.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) - 1} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x) - 1$ .

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Schritt 2.2.1.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) - 1} (\cos (x) - 1)$

Schritt 2.2.1.6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + 1 = \cos (x) + 1$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $\cos (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) + 1 - \cos (x) = 1$

Schritt 3.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) + 1 - \cos (x)$ .

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Schritt 3.1.2.1

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$0 + 1 = 1$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1 = 1$

Schritt 3.2

Da $1 = 1$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$