Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2

Multipliziere $\cos (x) \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{1 + \sin (x)} = \cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{1 + \sin (x)} = \cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{1 + \sin (x)} = \cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{1 + \sin (x)} = \cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} = \cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} = \cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} = 1 - \sin (x)$

Schritt 4

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = - \sin (x)$

Schritt 4.2

Addiere $\sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} - 1 + \sin (x) = 0$

Schritt 5

Vereinfache $\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} - 1 + \sin (x)$ .

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Schritt 5.1

Um $\sin (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.3

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 5.3.1.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.4

Schreibe $\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.1.4.1

Ordne Terme um.

$\frac{\sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.4.2

Ordne Terme um.

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Schritt 5.3.1.4.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin (x) + 1}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin (x) + 1$ und $1 + \sin (x)$ .

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Schritt 5.3.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Schritt 5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 - 1 = 0$

Schritt 5.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 = 0$

Schritt 6

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$