Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (x) (\tan (x) - \sec (x))}{1 - \csc (x)} = \sin (x)$

Schritt 1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) (\tan (x) - \sec (x))}{1 - \csc (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\cos (x) (\tan (x) - \sec (x))}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) (\tan (x) - \sec (x))}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\tan (x) - \sec (x)}{1 - \csc (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sec (x)}{1 - \csc (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \csc (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\sin (x)}} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x) \sin (x)$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\sin (x)}}$ mit $\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\sin (x)}} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.2

Kombinieren.

$\frac{\cos (x) \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) (1 - \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (\sin (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\cos (x)}$ in den Zähler.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (\frac{- 1}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.6.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin (x)$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) (\sin (x)) (\frac{- 1}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (\frac{- 1}{\cos (x)})}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) (- \frac{1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\sin (x)}$ in den Zähler.

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x) (\frac{- 1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.7.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\cos (x) \sin (x)$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) (\frac{- 1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) (\frac{- 1}{\sin (x)})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \cdot - 1} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1$ heraus.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \cdot - 1} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \cdot - 1$ heraus.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- 1)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \cdot - 1} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- 1)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) - 1)}{\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \cdot - 1} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \cdot - 1$ heraus.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin (x) \cdot 1$ heraus.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) - 1)}{\cos (x) (\sin (x) \cdot 1) + \cos (x) \cdot - 1} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \cdot - 1$ heraus.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) - 1)}{\cos (x) (\sin (x) \cdot 1) + \cos (x) (- 1)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) (\sin (x) \cdot 1) + \cos (x) (- 1)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) - 1)}{\cos (x) (\sin (x) \cdot 1 - 1)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) (\sin (x) - 1)}{\cos (x) (\sin (x) - 1)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x) - 1$ .

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) (\sin (x) - 1)}{\cos (x) (\sin (x) - 1)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 12

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 13

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) = \tan (x)$

Schritt 14

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$x = x$

Schritt 15

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 15.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x = 0$

Schritt 15.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 = 0$

Schritt 16

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$