Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} = \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) - 1}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $1 - \cos (x)$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} (1 - \cos (x)) = \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) - 1} (1 - \cos (x))$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \cos (x)$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} (1 - \cos (x)) = \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) - 1} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \cos (x) = \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) - 1} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) - 1} (1 - \cos (x))$ .

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 + \cos (x) = \frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\sec (x) - 1} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 + \cos (x) = \frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.1.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x)$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \cos (x) = \frac{\cos (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.1.3.2

Kombinieren.

$1 + \cos (x) = \frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \cos (x) = \frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 1}{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.1.5

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 2.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.2.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \cos (x) = \frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 1}{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.1.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \cos (x) = \frac{1 + \cos (x) \cdot 1}{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.2.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \cos (x) = \frac{1 + \cos (x) \cdot 1}{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \cos (x) = \frac{1 + \cos (x) \cdot 1}{1 + \cos (x) \cdot - 1} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \cos (x) = \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x) \cdot - 1} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.1.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1.7.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x) = \frac{1 + \cos (x)}{1 - 1 \cdot \cos (x)} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.1.7.2

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$1 + \cos (x) = \frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \cos (x)$ .

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Schritt 2.2.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \cos (x) = \frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} (1 - \cos (x))$

Schritt 2.2.1.8.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \cos (x) = 1 + \cos (x)$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $\cos (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 + \cos (x) - \cos (x) = 1$

Schritt 3.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + \cos (x) - \cos (x)$ .

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Schritt 3.1.2.1

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$1 + 0 = 1$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$1 = 1$

Schritt 3.2

Da $1 = 1$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$