Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{3} \cdot \tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \tan (x)) = 3 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} \tan (x))$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\tan (x)$ .

$3 \frac{\tan (x)}{3} = 3 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\tan (x)}{3} = 3 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = 3 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = 3 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Schritt 3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{3}$

Schritt 6

Vereinfache $π + \frac{π}{3}$ .

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Schritt 6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Schritt 6.3.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$