Trigonometrie Beispiele

$\cot (2 θ - \frac{π}{2}) = 1$

Schritt 1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$2 θ - \frac{π}{2} = arccot (1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $arccot (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $θ$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 θ = \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Schritt 3.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 θ = \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 θ = \frac{π + π \cdot 2}{4}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 θ = \frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Schritt 3.5.2

Addiere $π$ und $2 π$ .

$2 θ = \frac{3 π}{4}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{3 π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{3 π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$θ = \frac{3 π}{8}$

Schritt 5

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$2 θ - \frac{π}{2} = π + \frac{π}{4}$

Schritt 6

Löse nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 6.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 6.1.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{4}$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $θ$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 θ = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 θ = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 θ = \frac{5 π + π \cdot 2}{4}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 θ = \frac{5 π + 2 \cdot π}{4}$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $5 π$ und $2 π$ .

$2 θ = \frac{7 π}{4}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{7 π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 θ = \frac{7 π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Schritt 6.3.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$θ = \frac{7 π}{8}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cot (2 θ - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 2 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cot (2 θ - \frac{π}{2})$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$