Trigonometrie Beispiele

${(1 + i)}^{6}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 6 \cdot 1 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 6 i + 15 \cdot 1 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 + 6 i - 15 + 20 (i^{2} \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.11

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 6 i - 15 + 20 (- 1 \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.12

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 + 6 i - 15 + 20 (- i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.15

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.16

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.16.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.16.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.16.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.17

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.18

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i^{5} + i^{6}$

Schritt 2.1.19

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (i^{4} i) + i^{6}$

Schritt 2.1.20

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.20.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

Schritt 2.1.20.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

Schritt 2.1.20.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}$

Schritt 2.1.21

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{6}$

Schritt 2.1.22

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{4} i^{2}$

Schritt 2.1.23

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.23.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Schritt 2.1.23.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Schritt 2.1.23.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}$

Schritt 2.1.24

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{2}$

Schritt 2.1.25

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $15$ von $1$ .

$- 14 + 6 i - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $- 14$ und $15$ .

$1 + 6 i - 20 i + 6 i - 1$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 + 6 i - 20 i + 6 i$

Schritt 2.2.2.3

Addiere $0$ und $6 i$ .

$6 i - 20 i + 6 i$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $20 i$ von $6 i$ .

$- 14 i + 6 i$

Schritt 2.2.4

Addiere $- 14 i$ und $6 i$ .

$- 8 i$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 0$ und $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Schritt 6.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Schritt 6.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 8$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Schritt 8

Da das Argument nicht definiert ist und $b$ negativ ist, ist der Winkel des Punktes in der komplexen Ebene $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{2}$ und $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$