Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (x) - 4 \sec (x) = 4$

Schritt 1

Ersetze die $\tan^{2} (x)$ durch $\sec^{2} (x) - 1$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(\sec^{2} (x) - 1) - 4 \sec (x) = 4$

Schritt 2

Stelle das Polynom um.

$\sec^{2} (x) - 4 \sec (x) - 1 = 4$

Schritt 3

Ersetze $\sec (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} - 4 u - 1 = 4$

Schritt 4

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 4 u - 1 - 4 = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$u^{2} - 4 u - 5 = 0$

Schritt 6

Faktorisiere $u^{2} - 4 u - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 5, 1$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 5) (u + 1) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 8

Setze $u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

Schritt 9

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 5) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 5, - 1$

Schritt 11

Ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$\sec (x) = 5, - 1$

Schritt 12

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sec (x) = 5$

$\sec (x) = - 1$

Schritt 13

Löse in $\sec (x) = 5$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (5)$

Schritt 13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.1

Berechne $arcsec (5)$ .

$x = 1.3694384$

Schritt 13.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3694384$

Schritt 13.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3694384$

Schritt 13.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.3694384$ .

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Schritt 13.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.3694384$

Schritt 13.4.2.2

Subtrahiere $1.3694384$ von $6.2831853$ .

$x = 4.9137469$

Schritt 13.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.3694384 + 2 π n, 4.9137469 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Löse in $\sec (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- 1)$

Schritt 14.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.1

Der genau Wert von $arcsec (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 14.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$x = 2 π - π$

Schritt 14.4

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 14.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 14.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 14.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.3694384 + 2 π n, 4.9137469 + 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$