Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) \cos (x) = \cos (x)$

Schritt 1

Ersetze die $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = \cos (x)$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = \cos (x)$

Schritt 3

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = \cos (x)$

Schritt 4

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $\cos (x)$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = \cos (x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 4.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = \cos (x)$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = \cos (x)$

Schritt 4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = \cos (x)$

Schritt 5

Stelle das Polynom um.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = \cos (x)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $\cos (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \cos^{3} (x) + \cos (x) - \cos (x)$ .

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$- \cos^{3} (x) + 0 = 0$

Schritt 6.2.2

Addiere $- \cos^{3} (x)$ und $0$ .

$- \cos^{3} (x) = 0$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- \cos^{3} (x) = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos^{3} (x) = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos^{3} (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos^{3} (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $\cos^{3} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{3} (x) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Schritt 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Schritt 9

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 9.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 9.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\cos (x) = 0$

Schritt 10

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 11

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 12

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 13

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 13.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 13.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 13.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 13.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 14

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 14.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 14.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 14.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 14.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 15

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$