Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) = - 2$

Schritt 1

Ersetze die $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$(1 - \cos^{2} (x)) + 2 \cos (x) = - 2$

Schritt 2

Stelle das Polynom um.

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = - 2$

Schritt 3

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$- {(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = - 2$

Schritt 4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- u^{2} + 2 u + 1 + 2 = 0$

Schritt 5

Addiere $1$ und $2$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Schritt 6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} + 2 u + 3$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 u$ heraus.

$- u^{2} - (- 2 u) + 3 = 0$

Schritt 6.1.3

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} - (- 2 u)$ heraus.

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 6.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ heraus.

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $u^{2} - 2 u - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Schritt 6.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 8

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 9

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (u - 3) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 3, - 1$

Schritt 11

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 3, - 1$

Schritt 12

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = 3$

$\cos (x) = - 1$

Schritt 13

Löse in $\cos (x) = 3$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $3$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 14

Löse in $\cos (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 14.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 14.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 14.4

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 14.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 14.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 14.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Liste alle Lösungen auf.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$