Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 2$

Schritt 1

Ersetze die $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$1 - \cos^{2} (x) = 2 \cos (x) + 2$

Schritt 2

Stelle das Polynom um.

$- \cos^{2} (x) + 1 = 2 \cos (x) + 2$

Schritt 3

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$- {(u)}^{2} + 1 = 2 (u) + 2$

Schritt 4

Subtrahiere $2 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- u^{2} + 1 - 2 u = 2$

Schritt 5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- u^{2} + 1 - 2 u - 2 = 0$

Schritt 6

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Schritt 7

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} - 2 u - 1$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$- u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 u$ heraus.

$- u^{2} - (2 u) - 1 = 0$

Schritt 7.1.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- u^{2} - (2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} - (2 u)$ heraus.

$- (u^{2} + 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2} + 2 u) - 1 (1)$ heraus.

$- (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Schritt 7.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Schritt 7.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 7.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 7.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$- {(u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $- {(u + 1)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(u + 1)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 8.2.2

Dividiere ${(u + 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 9

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 10

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 11

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - 1$

Schritt 12

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 14

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 15

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 16

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 16.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 16.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 16.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 16.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 17

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$