Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) - 1$

Schritt 1

Ersetze die $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$1 - \cos^{2} (x) = \cos^{2} (x) - 1$

Schritt 2

Stelle das Polynom um.

$- \cos^{2} (x) + 1 = \cos^{2} (x) - 1$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $\cos (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos^{2} (x) + 1 - \cos^{2} (x) = - 1$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von $- \cos^{2} (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = - 1$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$- 2 \cos^{2} (x) = - 2$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos^{2} (x) = - 2$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos^{2} (x) = - 2$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 2$ .

$\cos^{2} (x) = 1$

Schritt 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 7

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (x) = \pm 1$

Schritt 8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = 1$

Schritt 8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - 1$

Schritt 8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = 1, - 1$

Schritt 9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = 1$

$\cos (x) = - 1$

Schritt 10

Löse in $\cos (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 10.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 10.4

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 10.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Löse in $\cos (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 11.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 11.4

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 11.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 11.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Liste alle Lösungen auf.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$