Trigonometrie Beispiele

$\cot^{2} (x) - 15 \cot (x) = 16$

Schritt 1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cot^{2} (x) - 15 \cot (x) - 16 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\cot^{2} (x) - 15 \cot (x) - 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 16$ und deren Summe $- 15$ ist.

$- 16, 1$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(\cot (x) - 16) (\cot (x) + 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot (x) - 16 = 0$

$\cot (x) + 1 = 0$

Schritt 4

Setze $\cot (x) - 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\cot (x) - 16$ gleich $0$ .

$\cot (x) - 16 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cot (x) - 16 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cot (x) = 16$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (16)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Berechne $arccot (16)$ .

$x = 0.0624188$

Schritt 4.2.4

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = (3.14159265) + 0.0624188$

Schritt 4.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.5.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.0624188$

Schritt 4.2.5.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.0624188$

Schritt 4.2.5.3

Addiere $3.14159265$ und $0.0624188$ .

$x = 3.20401146$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.7

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.0624188 + π n, 3.20401146 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $\cot (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\cot (x) + 1$ gleich $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cot (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cot (x) = - 1$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- 1)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von $arccot (- 1)$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $2 π$ zu $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Schritt 5.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{4}$ ist positiv und gleich $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.2.7

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\cot (x) - 16) (\cot (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0.0624188 + π n, 3.20401146 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 7.1

Führe $0.0624188 + π n$ und $3.20401146 + π n$ zu $0.0624188 + π n$ zusammen.

$x = 0.0624188 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7.2

Führe $\frac{3 π}{4} + π n$ und $\frac{7 π}{4} + π n$ zu $\frac{3 π}{4} + π n$ zusammen.

$x = 0.0624188 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$