Trigonometrie Beispiele

$\cot^{2} (x) = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Schritt 1

Ersetze die $\cot^{2} (x)$ durch $\csc^{2} (x) - 1$ basierend auf der $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$\csc^{2} (x) - 1 = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Schritt 2

Ersetze $\csc (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{5}{2} u - 2$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Kombiniere $u$ und $\frac{5}{2}$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 5}{2} - 2$

Schritt 3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $u$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{5 u}{2} - 2$

Schritt 4

Addiere $\frac{5 u}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} = - 2$

Schritt 5

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 5.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} + 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$u^{2} + \frac{5 u}{2} + 1 = 0$

Schritt 6

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 u^{2} + 5 u + 2 \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 u^{2} + 5 u + 2 = 0$

Schritt 7

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 5$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $16$ von $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u = \frac{- 5 \pm 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm 3}{4}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{1}{2}, - 2$

Schritt 11

Ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}, - 2$

Schritt 12

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Schritt 13

Löse in $\csc (x) = - \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Der Wertebereich des Kosekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $- \frac{1}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 14

Löse in $\csc (x) = - 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (- 2)$

Schritt 14.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.1

Der genau Wert von $arccsc (- 2)$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Schritt 14.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 14.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 14.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 14.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 14.5

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 14.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 14.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 14.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Schritt 14.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 14.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 14.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 14.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.6.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Schritt 14.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Schritt 14.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 14.7

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$