Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (x) = 3 (1 - \sin (x))$

Schritt 1

Ersetze die $\cos^{2} (x)$ durch $1 - \sin^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$1 - \sin^{2} (x) = 3 (1 - \sin (x))$

Schritt 2

Stelle das Polynom um.

$- \sin^{2} (x) + 1 = 3 (1 - \sin (x))$

Schritt 3

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$- {(u)}^{2} + 1 = 3 (1 - (u))$

Schritt 4

Vereinfache $3 (1 - u)$ .

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Schritt 4.1

Forme um.

$- u^{2} + 1 = 0 + 0 + 3 (1 - u)$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- u^{2} + 1 = 3 (1 - u)$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- u^{2} + 1 = 3 \cdot 1 + 3 (- u)$

Schritt 4.4

Multipliziere.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- u^{2} + 1 = 3 + 3 (- u)$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- u^{2} + 1 = 3 - 3 u$

Schritt 5

Addiere $3 u$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- u^{2} + 1 + 3 u = 3$

Schritt 6

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- u^{2} + 1 + 3 u - 3 = 0$

Schritt 7

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} + 3 u - 2$ heraus.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$- u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $3 u$ heraus.

$- u^{2} - (- 3 u) - 2 = 0$

Schritt 8.1.3

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$- u^{2} - (- 3 u) - 1 \cdot 2 = 0$

Schritt 8.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} - (- 3 u)$ heraus.

$- (u^{2} - 3 u) - 1 \cdot 2 = 0$

Schritt 8.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2} - 3 u) - 1 (2)$ heraus.

$- (u^{2} - 3 u + 2) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $u^{2} - 3 u + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 8.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((u - 2) (u - 1)) = 0$

Schritt 8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (u - 2) (u - 1) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 10

Setze $u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $u - 2$ gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 2$

Schritt 11

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (u - 2) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 2, 1$

Schritt 13

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = 2, 1$

Schritt 14

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = 2$

$\sin (x) = 1$

Schritt 15

Löse in $\sin (x) = 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $2$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 16

Löse in $\sin (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 16.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 16.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 16.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 16.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 16.4

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 16.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 16.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 16.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 16.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 16.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 16.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 16.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 16.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 16.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 16.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 16.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 16.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 17

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$