Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = - \sqrt{2} \sin (x)$

Schritt 1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2

Separiere Brüche.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4

Dividiere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ durch $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) \sec (x) = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6

Separiere Brüche.

$\tan (x) \sec (x) = \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) \sec (x) = \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \tan (x)$

Schritt 8

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$\tan (x) \sec (x) = - \sqrt{2} \tan (x)$

Schritt 9

Addiere $\sqrt{2} \tan (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) \sec (x) + \sqrt{2} \tan (x) = 0$

Schritt 10

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan (x) \sec (x) + \sqrt{2} \tan (x)$ heraus.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\sqrt{2} \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \sqrt{2} = 0$

Schritt 10.2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \sqrt{2}$ heraus.

$\tan (x) (\sec (x) + \sqrt{2}) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Schritt 12

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 12.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 12.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 12.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 12.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 12.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 12.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 12.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 12.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 12.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 12.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Setze $\sec (x) + \sqrt{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $\sec (x) + \sqrt{2}$ gleich $0$ .

$\sec (x) + \sqrt{2} = 0$

Schritt 13.2

Löse $\sec (x) + \sqrt{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Schritt 13.2.2

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Schritt 13.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.3.1

Der genau Wert von $arcsec (- \sqrt{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 13.2.4

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 13.2.5

Vereinfache $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 13.2.5.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 13.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.2.5.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 13.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 13.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 13.2.5.3.2

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 13.2.6

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 13.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13.2.7

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\tan (x) (\sec (x) + \sqrt{2}) = 0$ wahr machen.

$x = π n, π + π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Führe $π n$ und $π + π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$