Trigonometrie Beispiele

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 8 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$2 {(u)}^{2} - (u) + 8 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 1$ und $c = 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 8)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 8$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $64$ von $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 63$ als $- 1 (63)$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (63)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ um.

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $63$ als $3^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $63$ heraus.

$u = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$u = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{4}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4}, \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4}$

Schritt 6

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4}, \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4}$

Schritt 7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4}$

Schritt 8

Löse in $\sin (x) = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4})$

Schritt 8.2

Der inverse Sinus von $\arcsin (\frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 9

Löse in $\sin (x) = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4})$

Schritt 9.2

Der inverse Sinus von $\arcsin (\frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung