Trigonometrie Beispiele

$1 - \tan^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Schritt 1

Ersetze die $- \tan^{2} (x)$ durch $- (\sec^{2} (x) - 1)$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$1 - (\sec^{2} (x) - 1) = \sec^{2} (x)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - \sec^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - \sec^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$

Schritt 3

Addiere $1$ und $1$ .

$- \sec^{2} (x) + 2 = \sec^{2} (x)$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die $\sec (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $\sec^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sec^{2} (x) + 2 - \sec^{2} (x) = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $\sec^{2} (x)$ von $- \sec^{2} (x)$ .

$- 2 \sec^{2} (x) + 2 = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sec^{2} (x) = - 2$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sec^{2} (x) = - 2$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sec^{2} (x) = - 2$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sec^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sec^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $\sec^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 2$ .

$\sec^{2} (x) = 1$

Schritt 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 8

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sec (x) = \pm 1$

Schritt 9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (x) = 1$

Schritt 9.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (x) = - 1$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (x) = 1, - 1$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sec (x) = 1$

$\sec (x) = - 1$

Schritt 11

Löse in $\sec (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (1)$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Der genau Wert von $arcsec (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 11.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 11.4

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 11.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 11.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Löse in $\sec (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- 1)$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Der genau Wert von $arcsec (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 12.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$x = 2 π - π$

Schritt 12.4

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 12.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Liste alle Lösungen auf.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$