Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{3} \tan (3 x) - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3} \tan (3 x) = 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} \tan (3 x) = 1$ durch $\sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} \tan (3 x) = 1$ durch $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \tan (3 x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} \tan (3 x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\tan (3 x)$ durch $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (3 x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$3 x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{6}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{6}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Schritt 6

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$3 x = π + \frac{π}{6}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$3 x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Schritt 7.1.4

Addiere $π \cdot 6$ und $π$ .

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Schritt 7.1.4.1

Stelle $π$ und $6$ um.

$3 x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Schritt 7.1.4.2

Addiere $6 \cdot π$ und $π$ .

$3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 7.2.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{6}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\tan (3 x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\tan (3 x)$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{18} + \frac{π n}{3}, \frac{7 π}{18} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{18} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$