Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3} \sin (x) = 1 - \cos (x)$

Schritt 2

Quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2} = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache ${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\sqrt{3} \sin (x)$ an.

${\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3^{1} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Schritt 3.2.5

Berechne den Exponenten.

$3 \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe ${(1 - \cos (x))}^{2}$ als $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ um.

$3 \sin^{2} (x) = (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$

Schritt 4.2

Multipliziere $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \sin^{2} (x) = 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $- \cos (x)$ mit $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.3.1.4

Multipliziere $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Schritt 4.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)$

Schritt 4.3.1.4.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)$

Schritt 4.3.1.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Schritt 4.3.1.4.4

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Schritt 4.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Schritt 4.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von $- \cos (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 5

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin^{2} (x) - 1 = - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 5.2

Addiere $2 \cos (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) = \cos^{2} (x)$

Schritt 5.3

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 6

Ersetze die $3 \sin^{2} (x)$ durch $3 (1 - \cos^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) = 0$

Schritt 9

Stelle das Polynom um.

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 2 = 0$

Schritt 10

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$- 4 {(u)}^{2} + 2 (u) + 2 = 0$

Schritt 11

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4 u^{2} + 2 u + 2$ heraus.

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Schritt 11.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4 u^{2}$ heraus.

$- 2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 = 0$

Schritt 11.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $2 u$ heraus.

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) + 2 = 0$

Schritt 11.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $2$ heraus.

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 11.1.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u)$ heraus.

$- 2 (2 u^{2} - u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 11.1.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (2 u^{2} - u) - 2 (- 1)$ heraus.

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Schritt 11.2

Faktorisiere.

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 11.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 11.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Schritt 11.2.1.1.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$- 2 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Schritt 11.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Schritt 11.2.1.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Schritt 11.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 11.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Schritt 11.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 2 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Schritt 11.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$- 2 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Schritt 11.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Schritt 12

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 13

Setze $2 u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $2 u + 1$ gleich $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Schritt 13.2

Löse $2 u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = - 1$

Schritt 13.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 13.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 13.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 13.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Schritt 13.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{2}$

Schritt 14

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 16

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 17

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

Schritt 18

Löse in $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 18.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 18.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 18.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 18.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 18.4

Vereinfache $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 18.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 18.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 18.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 18.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 18.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 18.4.3.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 18.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 18.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 18.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 18.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 18.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 18.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 19

Löse in $\cos (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 19.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 19.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 19.2.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 19.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 19.4

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 19.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 19.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 19.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 19.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 19.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 19.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 20

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 21

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 22

Verifiziere jede der Lösngen durch Einsetzen in $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$ und Auflösen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$