Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{3} \csc (2 x) - 2 = 0$

Schritt 1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3} \csc (2 x) = 2$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} \csc (2 x) = 2$ durch $\sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{3} \csc (2 x) = 2$ durch $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \csc (2 x)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} \csc (2 x)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\csc (2 x)$ durch $1$ .

$\csc (2 x) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (2 x) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$2 x = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$2 x = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 6

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - \frac{π}{3}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 7.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 3$ .

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Schritt 7.1.4.1

Stelle $π$ und $3$ um.

$2 x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 7.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $3 \cdot π$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π}{3}$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{2 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot π$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\csc (2 x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 8.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\csc (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$