Trigonometrie Beispiele

$12 \sin^{2} (x) - 6 \sin (x) = 4$

Schritt 1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$12 {(u)}^{2} - 6 u = 4$

Schritt 2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 u^{2} - 6 u - 4 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $2$ aus $12 u^{2} - 6 u - 4$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $12 u^{2}$ heraus.

$2 (6 u^{2}) - 6 u - 4 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 u$ heraus.

$2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u) - 4 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u) + 2 (- 2) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u)$ heraus.

$2 (6 u^{2} - 3 u) + 2 (- 2) = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (6 u^{2} - 3 u) + 2 (- 2)$ heraus.

$2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (6 u^{2} - 3 u - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (6 u^{2} - 3 u - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $6 u^{2} - 3 u - 2$ durch $1$ .

$6 u^{2} - 3 u - 2 = \frac{0}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$6 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 6$ , $b = - 3$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 2)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 6 \cdot - 2$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 24 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 48}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.1.3

Addiere $9$ und $48$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{12}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}, \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

Schritt 9

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}, \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}$

$\sin (x) = \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

Schritt 11

Löse in $\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{3 + \sqrt{57}}{12})$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{3 + \sqrt{57}}{12})$ .

$x = 1.0740816$

Schritt 11.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 1.0740816$

Schritt 11.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 1.0740816$

Schritt 11.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 1.0740816$

Schritt 11.4.3

Subtrahiere $1.0740816$ von $3.14159265$ .

$x = 2.06751104$

Schritt 11.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 11.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.0740816 + 2 π n, 2.06751104 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Löse in $\sin (x) = \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{3 - \sqrt{57}}{12})$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{3 - \sqrt{57}}{12})$ .

$x = - 0.38888063$

Schritt 12.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) + 0.38888063$

Schritt 12.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.38888063$

Schritt 12.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.38888063$

Schritt 12.4.3

Addiere $3.14159265$ und $0.38888063$ .

$x = 3.53047329$

Schritt 12.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 12.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.38888063$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.38888063 + 2 π$

Schritt 12.6.2

Subtrahiere $0.38888063$ von $2 π$ .

$5.89430466$

Schritt 12.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 5.89430466$

Schritt 12.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.53047329 + 2 π n, 5.89430466 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.0740816 + 2 π n, 2.06751104 + 2 π n, 3.53047329 + 2 π n, 5.89430466 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$