Trigonometrie Beispiele

$7 \sin^{2} (x) + 15 \sin (x) + 8 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot 8 = 56$ und deren Summe gleich $b = 15$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $15$ aus $15 \sin (x)$ heraus.

$7 \sin^{2} (x) + 15 \sin (x) + 8 = 0$

Schritt 1.1.2

Schreibe $15$ um als $7$ plus $8$

$7 \sin^{2} (x) + (7 + 8) \sin (x) + 8 = 0$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$7 \sin (x) (\sin (x) + 1) + 8 (\sin (x) + 1) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $\sin (x) + 1$ .

$(\sin (x) + 1) (7 \sin (x) + 8) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

$7 \sin (x) + 8 = 0$

Schritt 3

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 3.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.2.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 3.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.7

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.2.7.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 3.2.7.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.7.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.2.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 3.2.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $7 \sin (x) + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $7 \sin (x) + 8$ gleich $0$ .

$7 \sin (x) + 8 = 0$

Schritt 4.2

Löse $7 \sin (x) + 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 \sin (x) = - 8$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 \sin (x) = - 8$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 \sin (x) = - 8$ durch $7$ .

$\frac{7 \sin (x)}{7} = \frac{- 8}{7}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \sin (x)}{7} = \frac{- 8}{7}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 8}{7}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{8}{7}$

Schritt 4.2.3

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{8}{7}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\sin (x) + 1) (7 \sin (x) + 8) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$