Trigonometrie Beispiele

$8 \sin^{2} (x) \tan (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$8 \sin^{2} (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $8 \sin^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $8$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 8}{\cos (x)} \cdot \sin^{2} (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 1.1.2.2

Kombiniere $\frac{\sin (x) \cdot 8}{\cos (x)}$ und $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot (8 \sin^{2} (x))}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 1.1.2.3

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.3.1

Bewege $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x) \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 1.1.2.3.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x) \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{2 + 1} \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 1.1.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x) \cdot 8}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 1.1.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{3} (x)$ heraus.

$\frac{8 (\sin (x) \sin^{2} (x))}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 1.2.2

Separiere Brüche.

$\frac{8 (\sin^{2} (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 1.2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{8 (\sin^{2} (x))}{1} \cdot \tan (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 1.2.4

Dividiere $8 (\sin^{2} (x))$ durch $1$ .

$8 \sin^{2} (x) \tan (x) - 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $8 \sin^{2} (x)$ aus $8 \sin^{2} (x) \tan (x) - 8 \sin^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $8 \sin^{2} (x)$ aus $- 8 \sin^{2} (x)$ heraus.

$8 \sin^{2} (x) \tan (x) + 8 \sin^{2} (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $8 \sin^{2} (x)$ aus $8 \sin^{2} (x) \tan (x) + 8 \sin^{2} (x) \cdot - 1$ heraus.

$8 \sin^{2} (x) (\tan (x) - 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

Schritt 4

Setze $\sin^{2} (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin^{2} (x)$ gleich $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin^{2} (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sin (x) = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 4.2.6

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $\tan (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\tan (x) - 1$ gleich $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\tan (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = 1$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 5.2.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 5.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 5.2.5.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.2.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $8 \sin^{2} (x) (\tan (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 7.1

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7.2

Führe $\frac{π}{4} + π n$ und $\frac{5 π}{4} + π n$ zu $\frac{π}{4} + π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$