Trigonometrie Beispiele

$5 \cos (x) = 5 \sqrt{3} \sin (- x)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $5 \sqrt{3} \sin (- x)$ .

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Schritt 1.1.1

Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$5 \cos (x) = 5 \sqrt{3} (- \sin (x))$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$5 \cos (x) = - 5 \sqrt{3} \sin (x)$

Schritt 2

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- 5 \sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- 5 \sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$5 = \frac{- 5 \sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4

Separiere Brüche.

$5 = \frac{- 5 \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$5 = \frac{- 5 \sqrt{3}}{1} \cdot \tan (x)$

Schritt 6

Dividiere $- 5 \sqrt{3}$ durch $1$ .

$5 = - 5 \sqrt{3} \tan (x)$

Schritt 7

Schreibe die Gleichung als $- 5 \sqrt{3} \tan (x) = 5$ um.

$- 5 \sqrt{3} \tan (x) = 5$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $- 5 \sqrt{3} \tan (x) = 5$ durch $- 5 \sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 \sqrt{3} \tan (x) = 5$ durch $- 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{3} \tan (x)}{- 5 \sqrt{3}} = \frac{5}{- 5 \sqrt{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 \sqrt{3} \tan (x)}{- 5 \sqrt{3}} = \frac{5}{- 5 \sqrt{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{5}{- 5 \sqrt{3}}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{5}{- 5 \sqrt{3}}$

Schritt 8.2.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{5}{- 5 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $- 5$ .

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\tan (x) = \frac{5 (1)}{- 5 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 \sqrt{3}$ heraus.

$\tan (x) = \frac{5 (1)}{5 (- \sqrt{3})}$

Schritt 8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{5 \cdot 1}{5 (- \sqrt{3})}$

Schritt 8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = \frac{1}{- \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 8.3.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\tan (x) = \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (x) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 8.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 8.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.3.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 8.3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 10

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Schritt 11

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Schritt 12.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{6}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 13

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 13.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 13.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 14

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 14.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{6} + π$

Schritt 14.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 14.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 14.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 14.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.4.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 14.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Schritt 14.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 15

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$