Trigonometrie Beispiele

$- 6 \cos (\frac{π}{3} x) = 4$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 \cos (\frac{π}{3} x) = 4$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 \cos (\frac{π}{3} x) = 4$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 \cos (\frac{π}{3} x)}{- 6} = \frac{4}{- 6}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 \cos (\frac{π}{3} x)}{- 6} = \frac{4}{- 6}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{π}{3} x)$ durch $1$ .

$\cos (\frac{π}{3} x) = \frac{4}{- 6}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 6$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\cos (\frac{π}{3} x) = \frac{2 (2)}{- 6}$

Schritt 1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\cos (\frac{π}{3} x) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{π}{3} x) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{π}{3} x) = \frac{2}{- 3}$

Schritt 1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (\frac{π}{3} x) = - \frac{2}{3}$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{π}{3} x = \arccos (- \frac{2}{3})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{π}{3}$ und $x$ .

$\frac{π x}{3} = \arccos (- \frac{2}{3})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Berechne $\arccos (- \frac{2}{3})$ .

$\frac{π x}{3} = 2.30052398$

Schritt 5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} \cdot 2.30052398$

Schritt 6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache $\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} \cdot 2.30052398$

Schritt 6.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} \cdot 2.30052398$

Schritt 6.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{3}{π} \cdot 2.30052398$

Schritt 6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} \cdot 2.30052398$

Schritt 6.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{π} \cdot 2.30052398$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $\frac{3}{π} \cdot 2.30052398$ .

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $\frac{3}{π} \cdot 2.30052398$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{3}{π}$ und $2.30052398$ .

$x = \frac{3 \cdot 2.30052398}{π}$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2.30052398$ .

$x = \frac{6.90157194}{π}$

Schritt 6.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$x = \frac{6.90157194}{3.14159265}$

Schritt 6.2.1.3

Dividiere $6.90157194$ durch $3.14159265$ .

$x = 2.19683858$

Schritt 7

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{π x}{3} = 2 (3.14159265) - 2.30052398$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Schritt 8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache $\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3}$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Schritt 8.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Schritt 8.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 8.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Schritt 8.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Schritt 8.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache $\frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = \frac{3}{π} (6.2831853 - 2.30052398)$

Schritt 8.2.2.1.2

Subtrahiere $2.30052398$ von $6.2831853$ .

$x = \frac{3}{π} \cdot 3.98266132$

Schritt 8.2.2.1.3

Multipliziere $\frac{3}{π} \cdot 3.98266132$ .

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Schritt 8.2.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{3}{π}$ und $3.98266132$ .

$x = \frac{3 \cdot 3.98266132}{π}$

Schritt 8.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3.98266132$ .

$x = \frac{11.94798397}{π}$

Schritt 8.2.2.1.4

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$x = \frac{11.94798397}{3.14159265}$

Schritt 8.2.2.1.5

Dividiere $11.94798397$ durch $3.14159265$ .

$x = 3.80316141$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{π}{3} x)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{3} |}$

Schritt 9.3

$\frac{π}{3}$ ist ungefähr $1.04719755$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{3}{π}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Schritt 9.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Schritt 9.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 3$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{π}{3} x)$ ist $6$ , d. h., Werte werden sich alle $6$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.19683858 + 6 n, 3.80316141 + 6 n$ , für jede ganze Zahl $n$