Trigonometrie Beispiele

$6 \sqrt{2} \cos (x + 1) = 7$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $6 \sqrt{2} \cos (x + 1) = 7$ durch $6 \sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 \sqrt{2} \cos (x + 1) = 7$ durch $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{6 \sqrt{2} \cos (x + 1)}{6 \sqrt{2}} = \frac{7}{6 \sqrt{2}}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \sqrt{2} \cos (x + 1)}{6 \sqrt{2}} = \frac{7}{6 \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x + 1)}{\sqrt{2}} = \frac{7}{6 \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x + 1)}{\sqrt{2}} = \frac{7}{6 \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Dividiere $\cos (x + 1)$ durch $1$ .

$\cos (x + 1) = \frac{7}{6 \sqrt{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{7}{6 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x + 1) = \frac{7}{6 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7}{6 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x + 1) = \frac{7 \sqrt{2}}{6 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\cos (x + 1) = \frac{7 \sqrt{2}}{6 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 1.3.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x + 1) = \frac{7 \sqrt{2}}{6 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 1.3.2.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x + 1) = \frac{7 \sqrt{2}}{6 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 1.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x + 1) = \frac{7 \sqrt{2}}{6 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x + 1) = \frac{7 \sqrt{2}}{6 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x + 1) = \frac{7 \sqrt{2}}{6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x + 1) = \frac{7 \sqrt{2}}{6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x + 1) = \frac{7 \sqrt{2}}{6 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x + 1) = \frac{7 \sqrt{2}}{6 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x + 1) = \frac{7 \sqrt{2}}{6 \cdot 2^{1}}$

Schritt 1.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x + 1) = \frac{7 \sqrt{2}}{6 \cdot 2}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\cos (x + 1) = \frac{7 \sqrt{2}}{12}$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x + 1 = \arccos (\frac{7 \sqrt{2}}{12})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Berechne $\arccos (\frac{7 \sqrt{2}}{12})$ .

$x + 1 = 0.60066859$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 0.60066859 - 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von $0.60066859$ .

$x = - 0.3993314$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x + 1 = 2 (3.14159265) - 0.60066859$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $2 (3.14159265) - 0.60066859$ .

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x + 1 = 6.2831853 - 0.60066859$

Schritt 6.1.2

Subtrahiere $0.60066859$ von $6.2831853$ .

$x + 1 = 5.6825167$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5.6825167 - 1$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $1$ von $5.6825167$ .

$x = 4.6825167$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (x + 1)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.3993314$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.3993314 + 2 π$

Schritt 8.2

Subtrahiere $0.3993314$ von $2 π$ .

$5.8838539$

Schritt 8.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 5.8838539$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (x + 1)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 4.6825167 + 2 π n, 5.8838539 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$