Trigonometrie Beispiele

$3 \sin^{2} (x) - 7 \sin (x) + 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 \sin (x)$ heraus.

$3 \sin^{2} (x) - 7 \sin (x) + 2 = 0$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- 7$ um als $- 1$ plus $- 6$

$3 \sin^{2} (x) + (- 1 - 6) \sin (x) + 2 = 0$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 6 \sin (x) + 2 = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 6 \sin (x) + 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\sin (x) (3 \sin (x) - 1) - 2 (3 \sin (x) - 1) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 \sin (x) - 1$ .

$(3 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) - 2 = 0$

Schritt 3

Setze $3 \sin (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $3 \sin (x) - 1$ gleich $0$ .

$3 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3 \sin (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin (x) = 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (x) = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (x) = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x = 0.3398369$

Schritt 3.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Schritt 3.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.6.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

Schritt 3.2.6.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Schritt 3.2.6.3

Subtrahiere $0.3398369$ von $3.14159265$ .

$x = 2.80175574$

Schritt 3.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $\sin (x) - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin (x) - 2$ gleich $0$ .

$\sin (x) - 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin (x) - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = 2$

Schritt 4.2.2

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $2$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0.3398369 + 2 π n, 2.80175574 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$