Trigonometrie Beispiele

$3 \sin^{2} (x) + 1 = 7 \sin (x)$

Schritt 1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$3 {(u)}^{2} + 1 = 7 (u)$

Schritt 2

Subtrahiere $7 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 u^{2} + 1 - 7 u = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 7$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $12$ von $49$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{6}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{7 + \sqrt{37}}{6}, \frac{7 - \sqrt{37}}{6}$

Schritt 7

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{37}}{6}, \frac{7 - \sqrt{37}}{6}$

Schritt 8

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{37}}{6}$

$\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{37}}{6}$

Schritt 9

Löse in $\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{37}}{6}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\frac{7 + \sqrt{37}}{6}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 10

Löse in $\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{37}}{6}$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{7 - \sqrt{37}}{6})$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{7 - \sqrt{37}}{6})$ .

$x = 0.1534747$

Schritt 10.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.1534747$

Schritt 10.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.1534747$

Schritt 10.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.1534747$

Schritt 10.4.3

Subtrahiere $0.1534747$ von $3.14159265$ .

$x = 2.98811794$

Schritt 10.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.1534747 + 2 π n, 2.98811794 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.1534747 + 2 π n, 2.98811794 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$