Trigonometrie Beispiele

$4 (1 + \sin (x)) = \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{4 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2

Ersetze $\cos (x)$ durch einen äquivalenten Ausdruck im Zähler.

$4 (1 + \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\frac{1}{\cos (x)}) + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8

Multipliziere $4 \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $4$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{4}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1

Separiere Brüche.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{4}{1} \cdot \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9.3

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9.4

Separiere Brüche.

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9.5

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9.6

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (x)$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1}$

Schritt 10.2.4

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Schritt 11

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$4 \frac{1}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Schritt 11.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Schritt 11.1.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

Schritt 11.1.4

Kombiniere $4$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

Schritt 12

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cos (x)$

Schritt 13

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Schritt 14.2

Forme den Ausdruck um.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Schritt 15.2

Forme den Ausdruck um.

$4 + 4 \sin (x) = \cos (x) \cos (x)$

Schritt 16

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 16.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos (x)$

Schritt 16.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Schritt 16.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 + 4 \sin (x) = {\cos (x)}^{1 + 1}$

Schritt 16.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{2} (x)$

Schritt 17

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 + 4 \sin (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 18

Ersetze $\cos^{2} (x)$ durch $1 - \sin^{2} (x)$ .

$4 + 4 \sin (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 19

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 19.1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$4 + 4 (u) - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Schritt 19.2

Vereinfache $4 + 4 u - (1 - u^{2})$ .

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Schritt 19.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 + 4 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Schritt 19.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 + 4 u - 1 - - u^{2} = 0$

Schritt 19.2.1.3

Multipliziere $- - u^{2}$ .

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Schritt 19.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 + 4 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Schritt 19.2.1.3.2

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$4 + 4 u - 1 + u^{2} = 0$

Schritt 19.2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$4 u + 3 + u^{2} = 0$

Schritt 19.3

Faktorisiere $4 u + 3 + u^{2}$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 19.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 19.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u + 1) (u + 3) = 0$

Schritt 19.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 3 = 0$

Schritt 19.5

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 19.5.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 19.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 19.6

Setze $u + 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 19.6.1

Setze $u + 3$ gleich $0$ .

$u + 3 = 0$

Schritt 19.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 3$

Schritt 19.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u + 1) (u + 3) = 0$ wahr machen.

$u = - 1, - 3$

Schritt 19.8

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - 1, - 3$

Schritt 19.9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = - 3$

Schritt 19.10

Löse in $\sin (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 19.10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 19.10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 19.10.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 19.10.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 19.10.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 19.10.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 19.10.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 19.10.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 19.10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 19.10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 19.10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 19.10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 19.10.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 19.10.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 19.10.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 19.10.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 19.10.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 19.10.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 19.10.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.10.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 19.10.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 19.10.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 19.10.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 19.11

Löse in $\sin (x) = - 3$ nach $x$ auf.

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Schritt 19.11.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- 3$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 19.12

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 19.13

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$