Trigonometrie Beispiele

$3 \cos (x) = - 3 \sin (- x)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $- 3 \sin (- x)$ .

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Schritt 1.1.1

Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$3 \cos (x) = - 3 (- \sin (x))$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$3 \cos (x) = 3 \sin (x)$

Schritt 2

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 = \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4

Separiere Brüche.

$3 = \frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$3 = \frac{3}{1} \cdot \tan (x)$

Schritt 6

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 = 3 \tan (x)$

Schritt 7

Schreibe die Gleichung als $3 \tan (x) = 3$ um.

$3 \tan (x) = 3$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $3 \tan (x) = 3$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \tan (x) = 3$ durch $3$ .

$\frac{3 \tan (x)}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \tan (x)}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{3}{3}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\tan (x) = 1$

Schritt 9

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 10

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 11

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 12

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 12.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 12.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 12.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 12.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 13

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 13.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 13.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 14

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$