Trigonometrie Beispiele

$3 \sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$3 (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $6 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $6 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$2 \sin (x) (3 \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 2 \sin (x)$ heraus.

$2 \sin (x) (3 \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $2 \sin (x) (3 \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ heraus.

$2 \sin (x) (3 \cos (x) - 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$3 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 4

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $3 \cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 \cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$3 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 \cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \cos (x) = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (x) = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (x) = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{1}{3})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Berechne $\arccos (\frac{1}{3})$ .

$x = 1.23095941$

Schritt 5.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Schritt 5.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.6.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Schritt 5.2.6.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.23095941$ .

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Schritt 5.2.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.23095941$

Schritt 5.2.6.2.2

Subtrahiere $1.23095941$ von $6.2831853$ .

$x = 5.05222588$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \sin (x) (3 \cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$