Trigonometrie Beispiele

$4 \sin (x) + 7 = 5$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin (x) = 5 - 7$

Schritt 1.2

Subtrahiere $7$ von $5$ .

$4 \sin (x) = - 2$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (x) = - 2$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (x) = - 2$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\sin (x) = \frac{2 (- 1)}{4}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Schritt 8.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Schritt 8.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Schritt 8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$