Trigonometrie Beispiele

$(1 - \tan (x)) (1 + \sin (2 x)) = 1 + \tan (x)$

Schritt 1

Vereinfache $(1 - \tan (x)) (1 + \sin (2 x))$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 + \sin (2 x)) = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 + \sin (2 x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 + \sin (2 x)) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 + \sin (2 x)) = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 + \sin (2 x)) = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (2 x) = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (2 x) = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (2 x) = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (2 x) = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.3.1.4

Kombiniere $\sin (2 x)$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.5.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.3.1.5.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.3.1.5.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.3.1.5.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.3.1.5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.3.1.5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.3.1.6.2

Dividiere $2 \sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - (2 \sin^{2} (x)) = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 2 \sin^{2} (x) = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.3.2

Bewege $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 1 + \tan (x)$

Schritt 1.5

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) - \tan (x) = 1 + \tan (x)$

Schritt 2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3